剑指offer-41、和为S的连续正数序列

题⽬描述

⼩明很喜欢数学，有⼀天他在做数学作业时，要求计算出 9~16 的和，他⻢上就写出了正确答案是 100 。但是他并不满⾜于此，他在想究竟有多少种连续的正数序列的和为 100 (⾄少包括两个数)。没多久，他就得到另⼀组连续正数和为 100 的序列: 18,19,20,21,22 。现在把问题交给你，你能不能也很快的找出所有和为S的连续正数序列? Good Luck!

返回值描述：输出所有和为 S 的连续正数序列。序列内按照从⼩⾄⼤的顺序，序列间按照开始数字从⼩到⼤的顺序

示例1：

输⼊：9
返回值：[[2,3,4],[4,5]]

思路及解答

暴力枚举

通过双重循环尝试所有可能的序列起点和终点。

针对每⼀个索引起点，都计算后续的连续⼦数组的和，并且将元素存到临时 list 中。

如果和不超过 sum ,那么就继续往后⾯遍历；

如果和等于 sum ，则说明该连续⼦数组满⾜条件，将临时 list 添加到结果集中

如果和⼤于 sum ，则说明连续⼦数组已经超过，该索引起点的不满⾜条件，直接 break 。

注意的是，起点我们只需要遍历到 sum/2 的位置即可，因为⼤于 sum/2 的索引，任何两个数的和都⼤于 sum ，不符合条件。

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
 public ArrayList<ArrayList<Integer>> FindContinuousSequence(int sum) {
 ArrayList<ArrayList<Integer>> result = new ArrayList<>();
 if (sum < 3) return result; // 至少需要两个数，最小和为1+2=3
 
 // 序列起点最多到sum/2，因为至少两个数，第二个数肯定比sum/2大
 for (int i = 1; i <= sum / 2; i++) {
 int currentSum = 0;
 ArrayList<Integer> sequence = new ArrayList<>();
 
 // 从i开始累加，直到和大于等于sum
 for (int j = i; j < sum; j++) {
 currentSum += j;
 sequence.add(j);
 
 if (currentSum == sum) {
 result.add(new ArrayList<>(sequence)); // 找到有效序列
 break;
 } else if (currentSum > sum) {
 break; // 已经超过，无需继续
 }
 }
 }
 return result;
 }
}

• 时间复杂度：O(n²)
• 空间复杂度：O(k)，k为结果序列数

数学计算

利用等差数列求和公式进行数学优化，减少计算量。

思路：设序列长度为n，起始为x，则满足：n*(2x+n-1)/2 = sum

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
 public ArrayList<ArrayList<Integer>> FindContinuousSequence(int sum) {
 ArrayList<ArrayList<Integer>> result = new ArrayList<>();
 if (sum < 3) return result;
 
 // 序列长度n从2开始尝试（至少两个数）
 for (int n = 2; n * (n + 1) / 2 <= sum; n++) {
 // 根据求和公式推导：sum = n*(2x+n-1)/2
 // 解得：x = (2*sum/n - n + 1)/2
 int numerator = 2 * sum - n * (n - 1);
 int denominator = 2 * n;
 
 // x必须是正整数，且分子要能整除分母
 if (numerator > 0 && numerator % denominator == 0) {
 int x = numerator / denominator;
 ArrayList<Integer> sequence = new ArrayList<>();
 for (int i = 0; i < n; i++) {
 sequence.add(x + i);
 }
 result.add(sequence);
 }
 }
 
 // 由于我们从长度小的开始，需要反转结果保证序列间顺序
 result.sort((a, b) -> a.get(0) - b.get(0));
 return result;
 }
}

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

滑动窗口（最优）

使用双指针技术，动态调整窗口大小

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
 public ArrayList<ArrayList<Integer>> FindContinuousSequence(int sum) {
 ArrayList<ArrayList<Integer>> result = new ArrayList<>();
 if (sum < 3) return result;
 
 int left = 1; // 窗口左边界
 int right = 2; // 窗口右边界
 int currentSum = left + right; // 当前窗口和
 
 // 左边界最多到sum/2，因为至少需要两个数
 while (left <= sum / 2) {
 if (currentSum == sum) {
 // 找到有效序列，添加到结果
 ArrayList<Integer> sequence = new ArrayList<>();
 for (int i = left; i <= right; i++) {
 sequence.add(i);
 }
 result.add(sequence);
 
 // 左边界右移，继续寻找
 currentSum -= left;
 left++;
 } else if (currentSum < sum) {
 // 和太小，扩大窗口（右边界右移）
 right++;
 currentSum += right;
 } else {
 // 和太大，缩小窗口（左边界右移）
 currentSum -= left;
 left++;
 }
 }
 
 return result;
 }
}

• 时间复杂度：O(n）
• 空间复杂度：O(1)